Задачи комбинаторно-логического характера

Доказательство тождеств

Индукция в геометрии

Простые числа

Правило крайнего. Инварианты

Многочлены с действительными, целыми, рациональными коэффициентами

Подборка задач чётность

Многочлены нескольких переменных. Симметрические многочлены.

Классические неравенства о средних. Неравенство Коши-Буняковского.

Задачи на игры и стратегии. Выбор выигрышной стратегии. Метод перебора.

Функциональные уравнения

Различные свойства функций, их применения

Комбинаторная геометрия. Язык комбинаторной геометрии: выпуклые фигуры, выпуклая оболочка, опорные прямые, диаметр фигуры.

Тема:

Многогранники. Решение задач на вычисление объёма призмы

 

1. АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. Найдите объём и площадь боковой поверхности параллелепипеда, если известно, что АВ = 6, ВС = 8, а плоскость АВ₁С образует с основанием параллелепипеда угол 60*.

 

2. Основание наклонной призмы – равнобедренный треугольник с основанием 6 и углом при вершине 120*. Одна из вершин верхнего основания призмы равноудалена от каждой вершины нижнего основания. Боковое ребро составляет угол 60* с основанием. Найдите объём призмы.

 

3. Длины сторон основания прямого параллелепипеда равны 7 и 5, величина острого угла основания равна 45*. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45*. Найдите объём параллелепипеда.

 

4. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм, один из углов которого равен 30* и площадь равна 4. Площади боковых граней равны 6 и 12. Найдите объём параллелепипеда.

 

5. Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС = 8 и острым углом СВА равным 60*. Найдите объём призмы, если угол между плоскостью (АВ₁С) и основанием призмы равен 30*.

 

6. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 60*. Диагональ боковой грани параллелепипеда наклонена к основанию под углом 45*. Найдите объём параллелепипеда и площадь его большего диагонального сечения.

 

7. АВСА₁В₁С₁ – правильная треугольная призма с объёмом 96. Через середину ребра АА₁ проведено сечение призмы плоскостью, параллельной прямым АС и СВ₁. Найдите объём меньшей из частей, полученных в результате деления призмы данной плоскостью.